福建省武*县第一中学2020学年高二数学下学期期中试题 理

发布于:2021-09-27 13:50:58

武*一中 2020 学年第二学期半期考
高二数学(理科)试题
(考试时间:120 分钟 总分:150 分)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

注意事项:

1. 答题前,考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡

上填写清楚,并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的

位置贴好条形码.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,

用橡皮擦干净后,再选择其它答案标号,第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.

在试卷上作答,答案无效.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的。

1.若复数

a 3i 1 2i

(a



R,

i

为虚数单位)是纯虚数,则实数

a

的值为(



A.-2

B.4

C.-6

D.6

2.函数 f (x) ex 1 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为( )

A. y x 1 B. y x 2 C. y 2x 1 D. y 2x 2

3.函数 f (x) 2x2 ln x 的递增区间是( )

A. (0, 1 ) B. ( 1 ,0)和(1 ,)

2

2

2

C. (1 , ) 2

D. (, 1)和(0, 1)

2

2

4.函数 y f (x) 的图象如右图所示,则导函数 y f '(x) 的

图象的大致形状是 ( )

y

y

y

y

y f '(x)

o
y f '(x)

x

o

x o y f '(x) x o y f '(x) x


5.计算 2 (cosx ex )dx 为( 0


A. e 2


B. e 2 - 2

)

C. e 2 1


D. e 2 -1

6.用数学归纳法证明不等式 1 1 . 1 1 (n 1, n N * ) 的过程中,从

n1 n 2

nn 2

n k 到 n k 1时左边需增加的代数式是 ( )

A. 1 2k 2

B. 1 1 2k 1 2k 2

C. 1 1 2k 1 2k 2

D. 1 2k 1

7.已知函数 f (x) x3 ax2 bx a 2 在 x 1处取得极值 10,则 a =(



A. 4 或 - 3 B. - 4 或 3 C. - 3 D. 4
8.右下图是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到. 图一是第 1 代“勾股树”,重复图一的作法,得到图二为第 2 代“勾股树”,以此类推,已知
最大的正方形面积为 1,则第 n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为( )

A. n B. n2 1 C. n 1 D. n 2

9.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=11-3t+ 24 (t 1 t
的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )

A.4+25ln5 B. 25 24ln 6 C. 35 24 ln 6 D. 35 48ln 6

2

2

2

10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以

至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达

式1 1 1 1

中“

”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1

1 x



x



1

求得 x 1 5 ,类似上述过程,则 3 3 3 ( ) 2

A. 13 1

B.3

C.6

D. 2 2

2

11.

函数

f

(x)



2x3 3x2 1(x eax1 (x 0)



0)

在[2,2] 的最大值为

2,则 a

的取值范围是(



A.[1 (ln 2 1),) 2
C. (,0)

B.[0,1 (ln 2 1)] 2
D. (, 1 (ln 2 1)] 2

12.已知 f (x) 是定义在 (0,) 上的增函数,其导函数 f (x) 满足 2xf (x) x2 1 ,则下列结 f (x)

论正确的是( )

A.对于任意 x (0,) , f (x) 0

B. 对于任意 x (0,) , f (x) 0

C.当且仅当 x (1,),f (x) 0

D. 当且仅当 x (1, ), f (x) 0

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.在复*面内,复数 2i 对应的点的坐标为 1i
14.如图,在边长为 1 的正方形中随机撒一粒黄豆,

则它落在阴影部分的概率为_______.

15.定义 A*B,B*C,C*D,D*B 依次对应如图所示的 4 个图形:

那么以下 4 个图形中,可以表示 A*D 的是

(填与图形对应的序号)

16.任意 x [1, e] ,使得 x x a a ln a(a 0) 成立,则 a 的取值范围是_______. x

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17. (本小题满分 10 分) 设复数 z1 2 ai (其中 a R ), z2 3 - 4i .

(Ⅰ)若 z1 z2 是实数,求 z1 z2 的值;

(Ⅱ)若

z1 z2

是纯虚数,求

z1



18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) a x3 a 1 x2 x b ,其中 a,b R .

3

2

(Ⅰ)若曲线 y f (x) 在点 P(2, f (2))处的切线方程为 y 5x 4,求函数 f (x) 的解析式.

(Ⅱ)当 a 0 时,讨论函数 f (x) 的单调性.

19. (本小题满分 12 分) 如图:在三棱锥 P ABC中, PB 面ABC, ABC 是直角三角 形, B 90 , AB BC 2, PAB 45 , ,点 D、E、F 分别为 AC、AB、BC 的中点.

(Ⅰ)求证: EF 面PBD; (Ⅱ)求二面角 E PC B 的余弦值.

20 .(本小题满分 12 分)某同学在研究相邻三个整数的算术*方根之间的关系时,发现以下
三个式子均是正确的:① 3 2 2 1 ;② 4 2 3 2 ;③ 5 2 4 3
(Ⅰ)请从以上三个式子中任选一个,根据
2 (1.41,1.42), 3 (1.73,1.74), 5 (2.23,2.24),验证其正确性(注意不能*似计算);
(Ⅱ)请将此规律推广至一般情形,并证明之.
21. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ax ex (a R) , g(x) ln x x
(Ⅰ)讨论函数 y f (x) 的零点个数; (Ⅱ) x [1, ) ,不等式 f (x) g(x) ex 恒成立,求 a 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) x cosx sin x, x [ ,0] 2
(Ⅰ)求证: f (x) 0 ;

(Ⅱ)若 a sin x b 对 x ( ,0) 恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值.

x

2

高二数学(理科)答案

一、选择题

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

答案 D

B

C

D

A

B

D

C

C

A

D

B

二、填空题

13. (1,1)

14. 1 3

15.(2)

16.

e2 1

0,

e 1



三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17.(本小题满分 10 分)

解:(Ⅰ)∵z1+z2=5+(a-4)i 是实数, ∴a=4,z1=2+4i, ∴z1z2=(2+4i)(3-4i)=22+4i;.................5 分

(Ⅱ)∵

z1



2 ai



(6 4a) (3a 8)i
是纯虚数,

z2 3 4i

25

∴a



3 2

,

z1



2

3 2

i



故 z1

4 9 5 ..................10 分 42

18. (本小题满分 12 分)

解(Ⅰ) f ' (x) ax2 (a 1)x 1.

由导数的几何意义得 f ' (2) 5 ,于是 a 3.

由切点 p(2, f (2)) 在直线 y 5x 4上可知 b 4.

所以函数 f (x) 的解析式为 f (x) x3 2x 2 x 4 .............5 分

(Ⅱ) f ' (x) ax2 (a 1)x 1 a(x 1)(x 1 ) .............6 分 a

当 0 a 1时,1 1 ,函数 f (x) 在区间 (,1) 及(1 ,) 上为增函数,在区间 (1, 1 ) 上为减

a

a

a

函数;............8 分

当 a 1 时,函数 f (x) 在区间 (,) 上为增函数;............10 分

当 a 1 时, 1 1,函数 f (x) 在区间 (, 1 ) 及(1,) 上为增函数,在区间( 1 ,1) 上为减函

a

a

a

数.............12 分

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连接 BD、在△ABC 中,∠B=90°.

∵AB=BC,点 D 为 AC 的中点,∴BD⊥ AC.

∵E、F 分别为 AB、BC 的中点,∴EF∥AC,
EF BD ,又∵PB⊥面 ABC,EF *面 ABC,∴PB EF , PB BD B EF *面 PBD............6 分

(Ⅱ)∵ PAB 45o ∴PB=BC=2

如图建立空间直角坐标系,则 E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则

uuur

uuur

EC =(-1,2,0), EP =(-1,0,2)

r 设*面 PEC 的一个法向量为 n =(x,y,z),

r uuur uuur r 则 n ? EC =0, EP ? n =0

即 x 2y 0, x 2z 0

令 x=2,得 y=1,z=1

r

uuur

∴ n =(2,1,1),由已知可得,向量 BA =(2,0,0)为*面 PBC 的法向量

r uuur ∴cos< n , BA >=

n BA

=

6

| n | | BA| 3

∴二面角 E-PC-B 的余弦值为 6 .............12 分 3

20 (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)验证①式成立:
2 1.41

2 2 2.82

2 2 1 1.82 又 3 1.74

3 2 2 1
.........5 分

.....................................................

(Ⅱ)一般结论为:若 n N* ,则 n 2 2 n 1 n ,证明如下:

要证: n 2 2 n 1 n

只需证: n 2 n 2 n 1

即证: ( n 2 n )2 (2 n 1)2

也就是证: 2n 2 2 n n 2 4n 4

即证: n n 2 n 1

只需证: n(n 2) n2 2n 1

即证: 0 1,显然成立

n 2 2 n 1 n ...........................................................
.12 分 21. (本小题满分 12 分)
解:(1)∵ f (x) a e x , x R .

当 a 0时,

f (x) 0,

f (x) 在 R 上单调递减,且

f

(

1

)



1



e

1 a

a

0,

f (0) 1 0 ,

f (x) 有且只有一个零点;

当 a 0 时,令 f / (x) 0 得 x ln a .

由 f / (x) 0, 得 f (x) 的单调递增区间为 (, ln a) ;

由 f / (x) 0, 得 f (x) 的单调递减区间为 (ln a,) .

f (x) 的最小值为 f (ln a) a ln a a a(ln a 1)

当 a(ln a 1) 0 即 0 a e 时 f (x) 无零点

当 a(ln a 1) 0 即 a e 时 f (x) 有一个零点

当 a(ln a 1) 0 即 a e 时 f (0) 1 0, 且 x , f (x) , f (x) 有 两个 零
点...........................................................6 分

(Ⅱ)∵ x [1,), f (x) g(x) ex ,



ax



ln x x

,即

a



ln x x2





h(x)



ln x x2

,则问题转化为

a



(

ln x x2

)max,



h/

(x)



1



2 ln x3

x

,令

h/

(

x)



0, 则x



e

当 x [1, e ), h/ (x) 0, h(x) 单调递增

x ( e,),h/ (x) 0 , h(x) 单调递减

1 当 x e 时,函数 h(x) 有极大值,即最大值为 2e .

a 1 ∴ 2e ..............................................12 分

22.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)因为 f (x) cosx x(sin x) cosx x sin x

当 x [ ,0], f (x) 0,从而 f (x) 在[ ,0] 单调递增,

2

2

所以 f (x) f (0) 0 ..................4 分

(Ⅱ)令 g(x) sin x , x ( ,0) 则

x

2

g(x) x cosx sin x ,由(Ⅰ)知, g(x) 0 x2

所以函数

g(x)

在 ( 2

,0)

单调递增,故 a



g ( x) m in



g( ) 2



2

所以 a 的最大值 2 ......................6 分

因为 sin x b 等价于 sin x bx 0 x

令 h(x) sin x bx, x ( ,0) 则 h(x) cosx b 2

(1)当 b 0 时, h(x) 0 对任意 x ( ,0) 恒成立,不符合题意; 2

(2)当 b 1时,因为对任意 x ( ,0) , h(x) cosx b 0 ,所以 h(x) 在 ( ,0) 单

2

2

调递减,所以 h(x) h(0) 0 对任意 x ( ,0) 恒成立,符合题意; 2

(3)当 0 b 1时,构造(x) cosx b ,则(x) sin x 0

所以(x) 在 ( ,0) 单调递增,又因为 ,( ) b 0,(0) 1 b 0

2

2

所以存在唯一零点

x0



(

2

,0)

,使得

(

x0

)



0

,当

x



(

2

,

x0

)



(x)



0



h(x)



(

2

,

x0

)

单调递减,当

x



(

x0,0)

,(x)



0



h(x)



(

x0,0)

在单调递增

所以 h(x0 ) h(0) 0 ,不符合题意,综上, b 的最小值为 1..................11 分

所以 a sin x b 对 x ( ,0) 恒成立, a 的最大值为 2 , b 的最小值为 1.......12

x

2






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